Top Tree 学习笔记

Reference:

  1. Renato F. Werneck, Design and Analysis of Data Structures for Dynamic Trees
  2. J. Holm, K. de Lichtenberg, and M. Thorup, Poly-logarithmic deterministic fully dynamic algorithms for connectivity, minimum spanning tree, 2-edge, and biconnectivity
  3. J. Holm and K. de Lichtenberg, Top-trees and dynamic graph algorithms
  4. Stephen Alstrup, Jacob Holm, Kristian De Lichtenberg, and Mikkel Thorup, Maintaining information in fully dynamic trees with top trees

注意这篇是笔记、不是教程,以后可能会出一份人类可读的版本。

本文的 Top tree 均指 multilevel participation 的实现。

本文不准备介绍操作复杂度定理的证明,因其过于复杂。

Top tree: 基于树的Contraction(暂译“合治”)的动态树。维护的是一个无向的森林。

将一棵树递归分成若干部分,top-down,称作“分治”;反过来的过程,bottom-up地把小块合并上来的过程,不妨称作“合治”。

Clusters

为了实现这一目标,我们需要设立合治的单位:cluster(暂译“树簇”,对应物似乎是“区间“之于序列数据结构)。这玩意需要满足以下条件:

  1. 有一个 \(O(1)\) 的边界(否则信息存不下)
  2. 可以合并拆分(废话)
  3. 不仅能储存树链信息,还可以储存”树块”信息(子树信息)

经过思考 查阅 ,树簇相关的术语被定义为如下:

  • 树簇,简称:树上的一个连通子图,有至多两个点和全树的其他位置连接
  • 这两个结点被称做界点 Boundary Node。 \(\mathcal C\) 的界点记作 \(\partial\mathcal C\)
  • 不是界点的点被称做内点 Internal Node,记作 \(\mathcal C\setminus \partial{\mathcal C}\)
  • 这两个界点之间的路径被称做簇路径 Cluster Path,记作 \(\pi(\mathcal C)\)
  • 有一个界点的被称做叶簇(Leaf cluster),其余的称作路簇(Path cluster)
  • 最小的(最基本的)簇是树的一条边,称作簇元 Edge cluster。“元”字取其基本元素之意,或译“簇素”,然其音有误解之可能。如果连接的是叶子与其他,那么有一个界点,称作 leaf edge cluster;反之有两个,称作 path edge cluster (不出现,不译)。
  • 如果两个树簇 \(\mathcal A,\,\mathcal B\) 有且仅有一个公共点,(显然此时这个公共点是二者的公共界点),两个连通子图的并也是一个簇,那么他们被称做可合并(Mergeable),合并的结果记作 \(\mathcal A\cup \mathcal B\)

考察一下合并的几种可能形态。

图1:合并的可能形态
图1:合并的可能形态

另外,由于我们的递归结构在顶层会遇到问题(并没有“向外的边”给全树这个簇用),引入一个叫 External Boundary Node 的概念(例外界点)。

此时我们就定义好了 top tree 的基本。

The Tree

那么这棵树是什么样子的呢?由于cluster是二合一合并,将其直接记录下来就好了。

  • 一个簇对应一个结点
  • 每个簇要么是叶子结点(簇元),要么是由两个簇合并起来,将他们作为大簇的孩子
  • (父亲/祖先/后代定义略)
  • 如果一个簇是另一个簇的父/子/祖先/后代,且他们的簇路径有至少一条边的交,那么分别称作path-ancestor/path-descendant/path-child。

于是就有了树结构。

我们考虑一下这棵树的若干性质。

  • 一颗 Top tree 中,同一个点在一层只作为一个簇的内点。因此一个点只作为 $ O(n)$ 次内点。
  • 另外,由于我们同时要讨论原树和 Top Tree,我将使用“簇”或“簇结点”指称 Top Tree上的结点。

The Operations, Black-box Flavored

那么这棵树支持什么操作呢?\(\def\defopname#1{{\newcommand{#1}{{\operatorname{#1}}}}}\def\opname#1{{\defopname{#1}\mathbf{#1}}}\)

\(\opname{Link}(v,w)\) :假设 \(v,\,w\) 两个结点在不同的树 \(\mathcal T_v,\,\mathcal T_w\) 中。建立一颗新的 Top Tree \(\mathcal T\),代表 $T_v T_w {(u,v)} $ 。 \(\opname{Cut}(v,w)\):在 \(\mathcal T\) 中去除 \((v,w)\) 这条边,建立 \(\mathcal T_v\)\(\mathcal T_w\)
\(\opname{Expose}(v,w)\) :将 \(v\)\(w\) 设定为 \(\mathcal T\) 的例外界点。

这些操作暴露给外部,称作外部操作;是通过调用一系列内部操作来实现的。内部操作有以下这些:

\(\opname{Merge}(\mathcal A,\mathcal B)\):将可合并簇 \(\mathcal A\)\(\mathcal B\) 合并,创建 \(\mathcal C=\mathcal A\cup\mathcal B\) 作为他们的父簇,并 \(\partial\mathcal C=\partial(\mathcal A\cup\mathcal B)\) 。设定 \(Info(\mathcal C):=\Merge(\mathcal C:\mathcal A,\mathcal B)\),其中 \(\Merge(\mathcal C:\mathcal A,\mathcal B)\) 是用户定义的计算信息合并的过程。
\(\opname{Split}(\mathcal C)\):其中 \(\mathcal C=\mathcal A\cup\mathcal B\)。调用 \(\Split(\mathcal C:\mathcal A,\mathcal B)\),然后把 \(\mathcal C\)\(\mathcal T\) 中删去。\(\Split(\mathcal C:\mathcal A,\mathcal B)\) 是用户定义的用 \(Info(\mathcal C)\) 更新 \(Info(\mathcal A)\)\(Info(\mathcal B)\) 的过程,可以理解为标记下传。
\(\opname{Create}((v,w))\):创建一条新边。调用同名用户定义过程。
\(\opname{Eradicate}(\mathcal C)\):要求 \(\mathcal C\) 是一个簇元。删除这条边。调用同名用户定义过程。

这样,我们就可以把 Top tree 描述成一个黑盒:用户提供四个内部操作同名过程负责信息的维护,然后调用外部操作进行修改树结构,然后对根节点进行查询。

Usages

我们考虑这玩意的可能用途。

树形态的维护

\(\Link\)\(\Cut\) 已经提供了。考虑 \(\opname{LCA}\) ,可以定义成 \(\opname{YCenter}(x,y,z)​\) 表示这三个点所形成的 Y 字形的中间那个点。(待补)

Sone1

每个簇维护以下东西:

  • 除簇路径外的内点 点权和、最大值、最小值
  • 簇路径点权和、最大值、最小值
  • 除簇路径外的内点 点权标记,可以写成 \(x\leftarrow kx+b\) 形式
  • 簇路径点权标记,同理

\(\Merge\) 中处理加和、取 \(\operatorname{max}\) ,在 \(\Split\) 中把标记扔到两个孩子簇上。

(咦似乎这样甚至可以做子树/树链赋值,但是原题没有)

动态直径/中心类的

待补;见于 Non-local Search 部分。

The Construction

先不考虑维护信息,只考虑树结构。我们先考虑一个暴力的构建。事实上有人[citation needed]尝试过自顶向下的分治出一棵Top Tree来,不过似乎没有什么结果。我们考虑自底向上的构建:每次拿到一棵树,进行一些合并,合并完的cluster每个都作为一条边放到上层。在同一层一个簇只会被合并一次,因此这里簇等价于底层的边,以下将混用。

我们强行(随意地)给每个结点周围的边定一个极角序。这样,就可以定义出每条弧在顺向的前驱后继边;显然构成了一个边的循环欧拉序。

考虑两种基本的合并:Rake和Compress。

图2:Rake与Compress
图2:Rake与Compress

\(\opname{Rake}(x)\)\(x\) 是一个叶子结点;将 \(x\) 合并到他往上连的顺向边上去。 \(\opname{Compress}(x)\)\(x\) 是一个度为 \(2\) 的结点;将 \(x\) 两侧的边合起来。

对于每一层:使用一个数据结构(欧拉序循环链表)维护尚未被合并的簇;一开始每个簇没有父亲;然后遍历链表,随意地选择合法位置(指那些要合并的两条簇都没有父亲的)进行 \(\Rake\)\(\Compress\),把结果作为两条簇的父亲;直到没有合法的位置为止。实现上,为了给每一个簇结点一个清晰的层次,可以给每一个孤儿建一个父亲,这个父亲没有其他孩子,且与孩子其维护的簇是相同的。然后,把所有父亲作为上一层的边使用。

然后操作层数(Top Tree的深度)就只有 \(O(\log{n})\) 了。这里的证明比较简单,分为三步:

  1. 读者自行验证:每棵树都有至少 \(\frac 12\) 的点度为1或2。
  2. 简单讨论一下,不难证明:每个 \(\Rake/\Compress\) 操作至多只会让两个相邻的原本合法的操作失效。
  3. 因此每层至少可以减少 \(\frac 16\) 的边。
  4. 事实上有一些反例违反了“每个 \(\mathrm R/\mathrm C\) 操作至多只会让两个相邻的原本合法的操作失效”,但我们可以证明,假设有 \(k\) 个反例,那么度为1或2的结点至少有 \(\frac 12 N+k\) 个。

然后这样我们就有一个 $ O(n)$ 的构建算法了,我们称作 \(\opname{Build}\)。在构建算法过程中,我们可以指定例外界点,以符合特殊需求。

The Operations, Detailed

现在来实现 \(\Link\)\(\Cut\) 。我们先从暴力的方法来从 \(\mathcal T\) 构造出结果 Top Tree \(\mathcal T'\)

  1. 炸掉整棵树。
  2. 重新 \(\Build\)
  3. \(\Build\) 的时候,每当“随意地选择合法位置”,改为“先选择 \(\mathcal T\) 中做过的、现在仍合法的决策,如果没有再随意选择”

这是一个正确性显然的做法,因为其得到的 \(\mathcal T'\) 仍然是一棵合法的(可能被 \(\Build\) 出来的)Top Tree。

来看复杂度证明。(我不准备给出完整的证明)我们只要证明,每层被影响到的、被重建的簇结点只有 \(O(1)\) 个。这很直观,但其证明非常复杂。完整正确的证明可见参考文献[1]。

现在考虑 \(\Link/\Cut\) 的具体实现。同样,只考虑树结构,不考虑簇信息的维护。

对于每一层:使用一个数据结构(欧拉序循环链表)维护尚未被合并的、被影响过的簇结点;一开始每个簇没有父亲;然后遍历链表,随意地选择合法位置(指那些要合并的两条簇都没有父亲的)进行 \(\Rake\)\(\Compress\),把结果作为两条簇的父亲;直到没有合法的位置为止。最后,给每一个孤儿建一个父亲。然后,把所有父亲作为上一层的边使用。

(很显然,上文这段的撰写特意参照了 \(\Build\) 里面同样结构的一段。)

至于 \(\Expose\)\(\Expose(v,w)\) 的(一种可取)实现是这样的:我们把所有包含 \(v,\,w\) 作为内点的簇拿出来,炸掉、暴露出其内部结构(形成一个 \(O(\log n)\) 条边的临时树),然后拿构建算法去 \(\Build(\mathcal T:\partial\mathcal T=\{(v,w)\})\)

最后额外地来考虑信息的维护。事实上对于 \(\Link\)\(\Cut\) 我们需要干的事情比较奇怪:我们先(虚的)做一遍上文描述的自底向上的东西,找到哪些结点要被 \(\Split\)\(\Eradicate\) 掉,然后自顶向下地 \(\mathrm S/\mathrm E\) 它们,然后再自底向上地 \(\Create/\Merge\) 回来。

到这里,本体的做法就差不多讲完了。代码是不可能有的,这辈子都不可能写的。

Non-local Searching

待补。